В 1568 г. по заказу Евдемона I из золота была изготовлена главная святыня Католикосата – чудотворная Пицундская (Бичвинтская) икона Божьей Матери Одигитрия, именуемая также «Бичвинтская Богородица», о чём сообщает надпись, сделанная католикосом на иконе. Образ был помещён в кафедральном соборе во имя Пресвятой Богородицы в Бичвинте, позже перенесён в церковь великомученика Георгия в Гелати. По заказу Евдемона I, как полагают исследователи, в рамках гелатской литературной школы, Иоане Кобинашвили переписал Минею и Октоих, Маноел Инаникисшвили – Метафраст, также были переписаны Метафраст с оригинальным сочинением Ефрема Мцире «Память Симеона Малого Логофета и рассказ о причине перевода этих чтений», литургический сборник «Гелатский Илитарион», гимнографический сборник «Ямбикон», сочинения Иоанна Дамаскина и др. По просьбе католикоса князя Ростом Гуриели (ум. в 1564 г.) пожертвовал католикосату село Хибула. Евдемон I похоронен возле алтаря церкви великомученика Георгия в Гелати, на могильной плите помещена составленная им эпитафия: «Христос, упокой душу раба Твоего, католикоса Абхазии Евдемоза Чхетидзе. Я, похороненный в могиле царей, велел расписать этот храм и украсил икону Пицундской Богородицы во имя поминания души моей, аминь». Изображения Евдемона I сохранились во фресковых росписях монастыря Гелати второй половины XVI в. В кафоликоне Евдемон I представлен фронтально в нижнем регистре росписи северной стены северного рукава в ктиторском ряду, между грузинскими царями – основателем Гелати Давидом IV Строителем (1089–1125 гг.) и Багратом III. Католикос изображён в архиерейском облачении: белом подризнике, крещатом саккосе, украшенном по подолу изумрудами, белом омофоре с четырьмя жёлтыми крестами, епитрахили и поручах. Лицо отмечено портретными чертами: лоб высокий, слегка выпуклый, с залысинами, миндалевидные глаза, коротковатый прямой нос, длинная, спадающая почти до пояса седая борода. Непокрытую голову Евдемона I осеняет нимб. Правая благословляющая рука согнута в локте высоко перед грудью, левая покоится на жезле с золотой рукояткой. Другое изображение Евдемона I было создано после его смерти в нижнем регистре выполненной по его заказу росписи южной стены гелатской церкви великомученика Георгия и составляет часть группового ктиторского портрета.